Das Abtasttheorem nach Nyquist

Die wichtigste Voraussetzung um analoge Schwingungen korrekt und verlustfrei in eine digitale Form zu übertragen wurde bereits vor 92 Jahren entdeckt.

1928 veröffentlichte Harry Nyquist in seinem wissenschaftlichen Paper „Certain topics in Telegraph Transmission Theory“ die Theorie, dass zur fehlerfreien digitalen Reproduktion ein analoges Signal mindestens doppelt so schnell abgetastet werden muss, wie seine höchste Frequenz.

Die Abtastfrequenz Fa ist mehr als doppelt so groß wie die höchste Nutzfrequenz Fn.

Die wichtigste Bedingung für die Digitalisierung

Dieses Wissen übernahm Claude Elwood Shannon und legte damit 1948 im „Nyquist-Shannonsche Abtasttheorem“ die Grundlagen zur modernen Signalverarbeitung.

Gut, wenn man es genau nimmt, müsste es eigentlich Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Theorem (WKS-Theorem) heißen, da auch andere Wissenschaftler zeitgleich auf dieselben Ergebnisse stießen. Aber wer es auch erfunden hat, dieses Theorem ist der Beweis, dass ein zeitdiskretes Signal (digital) den selben Informationsgehalt wie ein zeitkontinuierliches Signal (analog) besitzt, solange wir uns an die oben genannte Formel halten.

Shannon Nyquist Theorem Vorhernachher

Beispiele und Nyquist-Frequenz

Um eine Frequenz (Fn) von 5 Hertz zu digitalisieren, benötigen wir laut Shannon Fa > 2 · 5 Hertz über 10 Hertz, damit sich die Bedingung erfüllt. Dies ist bereits mit 11 Abtastpunkten pro Sekunde gegeben.

Um den kompletten hörbaren Bereich des Menschen zu reproduzieren (grob bis zu 20 kHz), sind wir mit Fa > 2 · 20.000 Hertz schon bei mehr als 40.000 Abtastpunkten pro Sekunde. Eine Audio-CD liegt mit einer Samplerate von 44.100 kHz etwas darüber und bildet alle Frequenzen unterhalb von 22.050 Hertz ab. Diese Hälfte der Samplingfrequenz wird auch Nyquist-Frequenz genannt.

Daraus abgeleitet gilt:
Die Nutzfrequenz muss immer kleiner als die Nyquist-Frequenz sein.

Anwendung der Nyquistfrequenz