4. Das Abtasttheorem

1928 veröffentlichte Harry Nyquist in seinem wissenschaftlichen Paper “Certain topics in Telegraph Transmission Theory” die Theorie, dass ein analoges Signal mindestens doppelt so schnell abgetastet werden muss, wie seine höchste Frequenz. Dieses Wissen übernahm Claude Elwood Shannon und legte damit 1948 im “Nyquist-Shannonsche Abtasttheorem” die Grundlagen zur modernen Signalverarbeitung. Wenn man es genau nimmt, müsste es eigentlich Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Theorem (WKS-Theorem) heißen, da auch andere Wissenschaftler in etwa zeitgleich auf dieselben Ergebnisse stießen.

Wer es auch erfunden hat, dieses Theorem ist der Beweis, dass ein zeitdiskretes Signal (digital) den selben Informationsgehalt wie ein zeitkontinuierliches Signal (analog) besitzt, solange wir uns an folgende Formel halten:

Die Abtastfrequenz Fa ist mehr als doppelt so groß wie die höchste Nutzfrequenz Fn.

F_a > 2cdot F_n

wandlung

Beispiel und Nyquist-Frequenz

Schauen wir uns das ganze an ein paar realen Zahlen an. Um eine Frequenz (Fn) von 5 Hertz zu digitalisieren benötigen wir laut der obigen Formel Fa > 2 · 5 Hertz über 10 Hertz, damit sich die Bedingung erfüllt. Dies ist bereits mit 11 Abtastpunkte pro Sekunde gegeben.

Um den kompletten, hörbaren Bereich des Menschen zu reproduzieren (bis zu 20 kHz), sind wir mit Fa > 2 · 20.000 Hertz schon bei über 40.000 Abtastpunkten pro Sekunde. Eine Audio CD liegt mit einer Samplerate von 44.100 kHz etwas darüber und bildet alle Frequenzen unterhalb von 22.050 Hertz ab. Diese Hälfte der Samplingfrequenz wird auch Nyquist-Frequenz genannt.

Daraus abgeleitet gilt: Die Nutzfrequenz muss immer kleiner als die Nyquist-Frequenz sein.

F_{Nutz} < F_{Nyquist}

Problem Aliasing

Aktuelle A/D Wandler bieten laut Verpackung eine maximale Sampling Frequenz von 192 kHz und somit im Umkehrschluss eine Nyquist Frequenz von 96.000 Hertz. Obwohl damit das Theorem für den Hörbereich mehr als erfüllt ist, reicht es eigentlich nicht aus. Sollte sich von irgendwo ein (Stör-)Signal mit mehr als 96 kHz einschleichen (zum Beispiel Mikrowellen, Amateurfunk, …), wird es nicht exakt erfasst und falsch interpretiert. Es kommt zum sogenannten Aliasing